azo es positiva cuando la tecnología
mejora de forma continua.
Existe un estado de crecimiento proporcionado, en donde la tecnología debe estar
multiplicando el factor trabajo, esto quiere decir que la tecnología hace más eficiente
el trabajo.1
Imaginemos que la tecnología mejora como se puede apreciar en el Gráfico Nº 2,
donde la curva de ahorro se ubica en el equilibrio ( E1t ) y se desplaza a la derecha
hasta intersectarse con la curva de depreciación hasta el punto de equilibrio ( E2t) y
si el crecimiento con una tasa de crecimiento positiva es continuo se ubicara en ( E3t )
con un capital por trabajador k *** 2.
Gráfico Nº 2: Versión de Barro aumento de la tecnología
En el estado de crecimiento proporcionado se tiene que
kte
t
es nulo.
Si
kte
t
(n mL
0, entonces s.(kte)
).kte, se determina el capital por trabajador
en estado de crecimiento proporcionado (kte) .
1
2
Revise Sala-i-Martín(1994) “Apuntes de Crecimiento Económico” Editorial: Antoni Bosch, pp. 39-43
Si a largo plazo no existe un nuevo aumento de B(t) la economía converge a un estado proporcionado con
un stock de capital superior, pero con crecimiento nulo.
1 dkte
7
k e
(kte)
s
n mL
(kte)1
s
n mL
1
1
s
n mL
(kte)
t
(kte) , si reemplazamos en la
De la función de producción intensiva se tiene ye
ecuación anterior tenemos:
1
t
s
n mL
(ye)
Donde
Asterisco denota el valor de equilibrio de las variables
Gráfico Nº 3: Diagrama con tecnología
Versión de Barro
De la ecuación fundamental de Solow – Swan dividimos entre el capital por
trabajador eficiente kte.
kte
kte
mL
)
(n
s(kte)
kte
.
kte dt
8
e
k
kte
kte
)
(n mL
s(kte)
kte
En el crecimiento proporcionado de largo plazo, la tasa de crecimiento de capital es
nula esto quiere decir que
LPe
k
0.
Si
e
k
0 entonces
kte
kte
)
(n mL
s(kte)
kte
, esta ecuación determina el capital por
trabajador en equilibrio (kte ) como se aprecia en el gráfico
Gráfico Nº 4: Gráfico de la versión de Barro
Política de crecimiento ejercicios resueltos
Problema #1
Su Suponga que existe una economía capitalista cuya función de producción
1/ 2
t
K1/ 2 B(t)Lt
dinámica: Yt
y se sabe que la tasa de ahorro de esta sociedad es de
24% del producto agregado cada año, también se sabe que la tasa de depreciación
del capital es de 5% al ano, la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo es del
1.5% y por ultimo se sabe que la tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia
del trabajo es de 1.5% al año.
a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico.
b) Determinar el estado de crecimiento proporcionado con su respectivo gráfico.
c) Hallar los valores de equilibrio por unidad de trabajo eficiente.
d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto de l capital y graficar los
valores.
e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso
nacional.
B(t)Lt
y
B(t)Lt
sf (k ) kt
9
Rpt:
a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico.
1.5%
24,
1.5%,mL
0.05,n
De los datos tenemos s
1/ 2
1/ 2
t
B(t)Lt
K
Yt
, dividiendo a la función de producción entre la cantidad de
trabajadores eficientes B(t)Lt
1/ 2
t
B(t)Lt
B(t)Lt
K1/ 2
1/ 2
Yt
B(t)Lt
(FPI)
K1/ 2
1/ 2
(kte)1/ 2
ye
t
t
e
t
De la condición de equilibrio macroeconómico sabemos:
Kt
K t
Ct
It
(1 s)F(Kt,B(t)Lt)
F(Kt,B(t)Lt)
F(Kt,B(t)Lt)
Dividiendo entre la cantidad de trabajadores eficientes
Kt
K t
1
B(t)Lt
sF(Kt,B(t)Lt)
0
e
e
t
kt
0
e
Despejando kt , tenemos:
(I)
e
kt
e
sf (kt )
e
kt
Para saber el comportamiento de kte, calcularemos su derivada con respecto al
tiempo
Kt.B(t) Lt
Kt.B(t)Lt
2
B(t)Lt
K t.B(t)Lt
Kt /B(t)Lt
t
kte
t
B(t) Kt
.
B(t) B(t)Lt
(II)
Lt Kt
.
Lt B(t)Lt
mL.kte
K t
B(t)Lt
e
kt n.kte
kte
t
kte
t
e
Reemplazando kt , que lo hallamos en la ecuación (I) y reemplazamos en la FPI de
nuestro modelo tenemos:
(II)
mL.kte
e
kt n.kte
kte
t
kte
t
).kte
sf (kte) (n mL
Nos da la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico.
10
(III)
).kte
(n mL
s(kte)
kte
t
Reemplazando los datos en la ecuación (III)
kte
t
0.24(kte)1/ 2
0.08kte, la ecuación fundamental con progreso tecnológico
b) En el estado de crecimiento proporcionado se obtiene dividiendo la ecuación
anterior (ecuación fundamental de Solow – Swan) entre el capital por trabajador
e
eficiente e igualándolo a la tasa de crecimiento que es nula k
0.
0.08
.
0.24(kte)1/ 2
kte
kte
t
1
kte
0.08
e
k
0.24(kte)1/ 2
kte
e
k
0. En el estado proporcionado
Donde la tasa de crecimiento del capital es nula
esta dado por la siguiente ecuación:
0.08
0
0.24(kte)1/ 2
kte
c) Hallar los valores de equilibrio por unidad de trabajo eficiente.
0.08
0.24(kte)1/ 2
kte
9
kte
Remplazando kte , en la FPI tenemos el producto por trabajador eficiente:
(9)1/ 2
t
ye
3
t
ye
César Antúnez. I
11
Notas de Crecimiento Económico
Gráfico del problema #1
d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto de l capital y graficar los
valores.
Mercado de capital:
1/ 2
1 1
2 9
t
d k1/ 2
dkt
Pmgk
Re
Pmgk
0.16666
Rr
Mercado de trabajo:
W e
Pmgk
W e
pmgL
f (kte).kte
f (kte)
1 1
. 1/ 2 .kt
2 kt
(kte)1/ 2
(9)1/ 2
1
2
W e
1 1/ 2
kt
2
W e
1.5
W e
e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso
nacional.
y
y
12
0.5
1.5
3
W
Y
we
e
50%, la participación del beneficio en el ingreso nacional es del
50%.
La participación del beneficio:
0.498
( 0. 16666 )x9
3
B
Y
Reke
e
50%, la participación del beneficio en el ingreso
nacional es del 50%.
Gráfico de la distribución del ingreso nacional
et
2
Problema #2
Examine el impacto de un aumento permanente en la tasa de inversión sobre el
crecimiento de la economía en el modelo de Solow – Swan con progreso
tecnológico.
Rpt:
Como en la economía se decidido aumentar de forma permanente la tasa de
inversión, desde “s1t ” hasta “s2t ”. La respuesta de esta economía como se puede
ver el grafico del problema #2.
Que el aumento de la inversión se desplaza en forma ascendente de s1t.f (k1 ) hasta
la curva, llegando al equilibrio E2t , con esto la nueva inversión (ket ) supera a la
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